الانحدار بمثال عملي
خمسة منازل ومعادلة واحدة، وكل مقاييس الخطأ محسوبة يدويًا. في النهاية ستعرف بالضبط ما الذي تخبرك به MAE وRMSE وR² على بطاقة النموذج.
السؤال: توقّع رقمًا
الانحدار هو ما تستخدمه عندما تكون الإجابة كمية: سعر أو زمن انتظار أو تكلفة شهرية. سؤالنا: بمعرفة مساحة منزل، بكم سيُباع؟
البيانات: خمسة منازل
خاصية واحدة (المساحة بالمتر المربع) والهدف الذي نريد توقّعه (سعر البيع بالريال):
| المنزل | المساحة (م²) | بيع بـ(ريال) |
|---|---|---|
| A | 100 | 410,000 |
| B | 120 | 470,000 |
| C | 150 | 610,000 |
| D | 80 | 330,000 |
| E | 200 | 790,000 |
المعادلة التي تعلّمها النموذج
يصل التدريب (حلقة خمّن-قِس-عدّل من الدرس 1) إلى الخط المستقيم الأكثر ملاءمة لهذه النقاط:
السعر = 4,000 × المساحة + 10,000
اقرأها هكذا: كل متر مربع يضيف 4,000 ريال، فوق أساس قدره 10,000 ريال. مرّر المنزل A عبرها: 4,000 × 100 + 10,000 = 410,000 ريال — وهو بالضبط ما بيع به. المنزل B: 4,000 × 120 + 10,000 = 490,000 ريال — لكنه بيع فعليًا بـ470,000. النموذج مخطئ بمقدار 20,000 ريال هنا.
كم هو مخطئ؟ MAE وRMSE يدويًا
مرّر المنازل الخمسة كلها عبر المعادلة وقارن:
| المنزل | الفعلي (ريال) | المتوقع (ريال) | الخطأ (ريال) |
|---|---|---|---|
| A | 410,000 | 410,000 | 0 |
| B | 470,000 | 490,000 | +20,000 |
| C | 610,000 | 610,000 | 0 |
| D | 330,000 | 330,000 | 0 |
| E | 790,000 | 810,000 | +20,000 |
(0 + 20,000 + 0 + 0 + 20,000) ÷ 5 = 8,000
«في المنزل المعتاد، يخطئ هذا النموذج بنحو 8,000 ريال.» بوحدات السعر نفسها — أسهل أرقام الخطأ قراءةً على الإطلاق.
(0² + 20,000² + 0² + 0² + 20,000²) ÷ 5 = 160,000,000 → √160,000,000 ≈ 12,650
التربيع يجعل الأخطاء الكبيرة تُحتسب أكثر: يستقر RMSE عند نحو 12,650 ريالًا — أعلى بوضوح من MAE البالغ 8,000، لأن خطأين بقيمة 20,000 ريال يزنان أكثر بعد التربيع. والفجوة الواسعة بين MAE وRMSE تلميح إلى أن النموذج جيد عادةً لكنه مخطئ بشدة أحيانًا.
R²: أفضل من تخمين المتوسط؟
الأخطاء بالريال تخبرك بمقدار انحراف النموذج. أما R² فيجيب عن سؤال مختلف: كم هو أفضل من أكسَل نموذج ممكن — نموذج يتوقع متوسط السعر (522,000 ريال) لكل منزل؟
نموذج «خمّن المتوسط دائمًا» يراكم أخطاء مربعة قدرها 131,680 مليون ريال مربّع. بينما مجموع الأخطاء المربعة لنموذجنا 800 مليون ريال مربّع فقط.
R² = 1 − 800 ÷ 131,680 ≈ 0.994
يفسّر النموذج 99.4% من فروق الأسعار بين هذه المنازل. القيمة 1.0 مثالية؛ و0 تعني «ليس أفضل من المتوسط»؛ وما دون 0 يعني أسوأ من المتوسط.
ما يفعله بيانِي أبعد من هذا المثال
البيانات الحقيقية فيها خصائص كثيرة، والخط المستقيم مجرد عائلة واحدة من القواعد. يدرّب بيانِي عدة عائلات نماذج بالتوازي — خطوطًا مستقيمة، وتجميعات أشجار القرار، والتعزيز المتدرج — ويقيّم كلًّا منها بالامتحانات الدوّارة من الدرس 1 (التحقق التقاطعي)، ويحتفظ بالفائز. والدرجات التي حسبتها للتو يدويًا هي نفسها الموجودة على بطاقة النموذج، مقيسة على بيانات لم يرها النموذج قط.
يصف هذا الدرس مسار بيانِي الحقيقي بصيغة مبسّطة. يُحدَّث يدويًا عند تغيّر المسار، لذا قد تتأخر الصياغة أحيانًا عن الكود.